Ο αριθμός "π". Η ιστορία του και ο υπολογισμός του.

Ο αριθμός «π» είναι ο πιο γνωστός, ο πιο πολυσυζητημένος αλλά και ο πιο παράξενος αριθμός που υπάρχει στην επιστήμη των μαθηματικών, απο καταβολής κόσμου. Το θεώρημα του Ιπποκράτη του Χίου διατυπώθηκε το 430 π.Χ. και αναφέρει ότι «ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του, είναι ίδιος για όλους τους κύκλους». Αυτός ο λόγος είναι ο περιβόητος αριθμός «π» ο οποίος ήταν γνωστός απο τον 50 π.Χ. αιώνα.  Απο την εποχή εκείνη άρχισε μία έρευνα επάνω σε δύο καθαρά θεωρητικά ερωτήματα :
1. Είναι ο αριθμός «π» ίσος με κάποιο αριθμητικό κλάσμα που οι παράγοντές του είναι φυσικοί αριθμοί ; Και το ερώτημα τέθηκε απο τους αρχαίους Ελληνες γιατί είχαν υποψία ότι δεν υπήρχε τέτοιο κλάσμα αλλά δεν μπορούσαν να το αποδείξουν.

2. Είναι δυνατόν με την χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη να κατασκευαστεί ενα ευθύγραμμο τμήμα ίσο σε μήκος με το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου ; Αυτό το πρόβλημα ονομάστηκε απο τους μεταγενέστερους «τετραγωνισμός του κύκλου». Η ιδιότητα των ¨μηνίσκων» που είχε βρεθεί και διατυπωθεί απο τον Ιπποκράτη τον Χίο, αποδεικνύει την ύπαρξη των προσπαθειών επίλυσης αυτού του προβλήματος.
Η απάντηση στα δύο αυτά ερωτήματα δόθηκε μετά απο 2000 χρόνια απο τους Γερμανούς μαθηματικούς Lambert kai Lindemann και ήταν αρνητική. Μεγάλης ιστορικής διαδρομής ήταν όμως και οι προσπάθειες για τον υπολογισμό του αριθμού «π». Η πρώτη εκτίμηση έγινε απο τον Αρχιμήδη τον 3ο αιώνα π.Χ. ο οποίος απέδειξε ότι το σταθερό αυτό μέγεθος περιέχεται μεταξύ των αριθμών 3+10/71 και 3+1/7 απο όπου προκύπτει ο πρώτος υπολογισμός του στον δεκαδικό αριθμό  3,14. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε για τον υπολογισμό του το γεωμετρικό σχήμα του κανονικού 96-γωνου και η μέθοδος που ακολούθησε είναι μία σύγχρονη μαθηματική μέθοδος. Γύρω στο 150 π.Χ. ο αστρονόμος Πτολεμαίος βρήκε μιά πιο προσεγγιστική τιμή, την 3,1416. Απο τότε σταμάτησαν οι προσπάθειες για τον υπολογισμό του για πε΄ριπου 1400 χρόνια και μόλις το 1579 μ.Χ. ο αστρονόμος Vieta υπολόγισε την τιμή του με δέκα δεκαδικά ψηφία. Το 1610 ο Van Geulen έδωσε 33 δεκαδικά ψηφία. Το 1621 ο Snell υπολόγισε 35 δεκαδικά ψηφία, χρησιμοποιώντας την μέθοδο του Αρχιμήδη και φτάνοντας μέχρι το κανονικό πολύγωνο με 1.073.741.824 πλευρές !! Είναι κατανοητό ότι χρειάστηκε σχεδόν μία ολόκληρη ζωή για τον εν λόγω υπολογισμό. Εν τω μεταξύ την εποχή εκείνη εμφανίστηκε ένας νέος κλάδος των μαθηματικών, ο απειροστικός λογισμός και οι απέραντες σειρές. Ο «π» εκφράστηκε πλέον μορφή σειρών και ο υπολογισμός έδωσε πολύ περισσότερα ψηφία. Το 1699 ο Sharp βρήκε 72 δεκαδικά ψηφία του αριθμού και το 1706 ο Machin τα έφτασε στα 101. Ολοι αυτόί οι απίστευτα μακροί υπολογισμοί έγιναν αφ’ ενός απο την επιθυμία για γνώση και έρευνα αλλά και με την ελπίδα μήπως απο κάποιο σημείο και μετά τα δεκαδικά ψηφία θα άρχιζαν να επαναλαμβάνονται περιοδικά και αυτό θα αποτελούσε ένδειξη ότι υπάρχει το αναζητούμενο κλάσμα που θα εκφράζει τον «π». Η προσπάθεια αυτή τερματίστηκε οριστικά το 1761 όταν ο Γερμανός μαθηματικός lambert απέδειξε πλέον ότι ο αριθμός «π» είναι ένας ασύμμετρος αριθμός που δεν ισούται με κανένα τέτοιο κλάσμα και τα δεκαδικά του ψηφία είναι άπειρα χωρίς να παρουσιάζουν καμμία περιοδικότητα. Αυτή ήταν η οριστική αρνητική απάντηση στο πρωτο ερώτημα των αρχαίων. Για την απάντηση του δευτέρου ερωτήματος, διατυπώθηκε η άποψη ότι για να επιτευχθεί η ζητουμενη κατασκευή δεν απαιτείται κατ’ ανάγκην να είναι σύμμετρος αριθμός ο «π», αρκεί το μήκος του υπο κατασκευή τμήματος να είναι τετραγωνική ρίζα σύμμετρου αριθμού ή συνδυασμός σύμμετρων αριθμών και ριζών τέτοιων αριθμών. Ετσι ο μακρινός δρόμος για τον υπολογισμό του «π» συνεχίστηκε. Το 1794 ο αστρονόμος Vega υπολόγισε 147 δεκαδικά ψηφία, το 1844 ο Dase, βοηθός του Gauss, έδωσε 201 ψηφία, το 1853 ο Αγγλος Rutherford έδωσε 441 ψηφία και το 1873 ο συμπατριώτης του Stanks έδωσε 527 ψηφία. Γύρω στα μέσα του 19ου αιώνα έγινε γνωστή μία νέα μαθηματική έννοια, αυτή του «υπερβατικού αριθμού». Και υπερβατικός καλείται ένας αριθμός όταν δεν είναι ρίζα καμμίας πολυωνυμικής εξίσωσης, οποιουδήποτε βαθμού, με σύμμετρους ή ακεραίους συντελεστές. Ο γερμανός μαθηματικός Lindemann απέδειξε τελικά ότι ο «π» είναι ένας υπερβατικός αριθμός και δόθηκε η οριστική απάντηση και στο δεύετρο ερώτημα των αρχαίων και αυτή αρνητική. Ετσι σταμάτησε οριστικά και η πορεία υπολογισμού του «π». Το 1909 ο Γάλλος μαθηματικός Borel διετύπωσε μία θεωρία για «κανονικούς» αριθμούς. Κανονικός, σύμφωνα με την θεωρία αυτή, λέγεται ένας αριθμός ο οποίος στα άπειρα δεκαδικά του ψηφία, κάθε ένα απο τα ψηφία  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 εμφανίζεται με την ίδια συχνότητα η οποία είναι 1/10. Δηλαδή η συχνότητα εμφάνισης του κάθε ψηφίου στο άπειρο ανάπτυγμα, να τείνει να γίνει ίδια για όλα τα ψηφία. Η θεωρία αυτή, σε συνδυασμό με την εμφάνιση των ηλεκτρονικών υπολογιστών στη δεκαετία του 1940, έδωσε αφορμή για νέες προσπάθειες υπολογισμού του «π» σε νέες πλέον βάσεις. Ετσι το 1949 υπολογιστής στις ΗΠΑ έδωσε 2036 δεκαδικά ψηφία του «π» και το 1959 στο Παρίσι υπολογιστής έδωσε 10.000 ψηφία. Η στατιστική μελέτη των πολλών πλέον δεκαδικών ψηφίων του «π’ απέδειξε ότι πρόκειται για έναν «κανονικό» αριθμό, με την έννοια που διατυπώθηκε παραπάνω. Και έτσι τον γνωρίζουμε και τον χρησιμοποιούμε σήμερα, τον πιο δημοφιλή παράξενο αριθμό.